Асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений

Асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений

Асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений

Решения системы дифференциальных уравнений на некотором конечном промежутке времени являются непрерывными функциями начальных значений и параметров при выполнении общих условий теоремы существования и единственности решений ДУ. Однако простые примеры показывают, что для непрерывности функции по начальным условиям на бесконечном промежутке времени этих условий недостаточно. Поэтому нужно определять дополнительные условия.

Теория устойчивости изучает отклонения решений при вариации начальных условий, коэффициентов системы, правых частей и т.д. Существует много определений устойчивости, но наиболее общим является определение устойчивости по Ляпунову, которым были заложены основы современной теории устойчивости.

Основным методом решения задач устойчивости является метод функций Ляпунова. Этот метод был предложен А.Н. Ляпуновым (под названием «второй метод») в его труде «Общая задача устойчивости движений», впервые опубликованы в 1892 году. Второй метод Ляпунова базируется на применении вспомогательных функций (функций Ляпунова). Метод позволяет судить о характере поведения решений системы дифференциальных уравнений на основании факта существования некоторой функции, имеет определенные свойства. Преимущество метода заключается в том, что для его применения отсутствует необходимость в нахождении явного вида решений исследуемой системы.

Читайте также  Подготовка будущих учителей технологий

При разглядывании дифференциальных уравнений и систем в практических задачах конкретное уравнение описывает конкретное физическое явление

При составлении модельного уравнения допускаются предположение, что в конечном итоге приводит к неадекватности математической модели и физического явления. Предполагая, что неточности модели достаточно малы, можно ставить задачу анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений, выясняя внесены в уравнение погрешности. Во многих случаях недостаточно утверждение об устойчивости или неустойчивости решения дифференциального уравнения, а требуется изучение положения системы со временем. Для решения этой проблемы используется метод фазовой плоскости.

Читайте также  Классификация социальных групп в контексте их устойчивого развития

Каждое состояние системы соответствует определенной точке на фазовом портрете. Фазовые портреты отражают наглядно особенности эволюции динамической системы: стационарных точек, циклов, бассейнов притяжения.

Для двумерной системы фазовый портрет полностью отражает типы траекторий, которые могут реализоваться. Для системы большей размерности строятся проекции фазовых траекторий на выбранную плоскость фазового пространства.

Изучение асимптотических свойств решений систем дифференциальных уравнений позволяет определить и предусмотреть много природных и техногенных процессов и явлений, с которыми сталкивается человечество.

Похожее ...

Добавить комментарий